בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 3 – תמרור: משולשים שווי צלעות דומים, גובה ושטח3 יחידות 371 · שיעור 40

בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 3

בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 3 – תמרור: משולשים שווי צלעות דומים, גובה ושטח

פרק 6 – דמיון משולשים

1נוסח השאלה

2סעיף א – למה המשולשים דומים

3סעיף ב (1) – הגובה AK

4סעיף ב (2) – שטח התמרור

5סעיף ג (1) – יחס הדמיון

6סעיף ג (2) – שטח המשולש DEF

7סעיף ד – השטח האפור

📄 נוסח השאלה

בשיעור בנושא זהירות בדרכים סרטט אמיר תמרור בצורת משולש שווה צלעות ABC. במרכז התמרור סרטט אמיר משולש שווה צלעות נוסף, המשולש DEF (הצלע EF מקבילה לצלע BC). את השטח בין שני המשולשים הוא צבע באפור, כמתואר בסרטוט.

א. הסבירו מדוע המשולשים ABC ו־DEF הם משולשים דומים.

📄 נוסח השאלה · המשך

נתון כי אורך הצלע של המשולש ABC הוא 72 ס"מ. AK הוא גובה לצלע BC במשולש ABC, כמתואר בסרטוט.

ב. (1) מצאו את אורך הגובה AK.

(2) חשבו את שטח התמרור כולו (שטח המשולש ABC).

נתון כי אורך הצלע של המשולש DEF הוא 48 ס"מ.

ג. (1) מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים ABC ו־DEF.

📄 נוסח השאלה · המשך

(2) חשבו את שטח המשולש DEF.

ד. חשבו את השטח שצבע אמיר באפור.

סעיף א – למה המשולשים דומים

בכל משולש שווה צלעות כל הזוויות שוות, וכל אחת מהן 60 מעלות.

לכן בשני המשולשים: ∢A = ∢D = 60 מעלות, ∢B = ∢E = 60 מעלות (וגם ∢C = ∢F).

יש שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן:

📐 משפט דמיון ז.ז

△ABC ∼ △DEF

✅ פתרון סופי: המשולשים דומים לפי ז.ז: בשניהם כל הזוויות 60 מעלות

📐 משפט דמיון ז.ז

שתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים

סעיף ב (1) – הגובה AK

במשולש שווה צלעות הגובה AK הוא גם תיכון, ולכן K אמצע BC:

BK = BC2

נציב BC = 72:

BK = 722 = 36

במשולש ABK הזווית K ישרה, ו־AB = 72 הוא היתר.

AB² = AK² + BK²

📐 משפט פיתגורס

c² = a² + b²
c – היתר, a , b – הניצבים

סעיף ב (1) – הגובה AK · המשך

AB² = AK² + BK²

📐 משפט פיתגורס

נציב AB = 72 , BK = 36:

72² = AK² + 36²

5184 = AK² + 1296

AK² = 5184 − 1296 = 3888

AK = √3888 ≈ 62.354

📐 משפט פיתגורס

c² = a² + b²
c – היתר, a , b – הניצבים

סעיף ב (1) – הגובה AK · המשך

AK = √3888 ≈ 62.354

✅ פתרון סופי: AK ≈ 62.35 ס"מ (36√3)

סעיף ב (2) – שטח התמרור

S = BC · AK2

📐 שטח משולש

נציב BC = 72 , AK = 62.354:

S = 72 · 62.3542

S = 36 · 62.354 ≈ 2244.74

✅ פתרון סופי: ≈ 2244.7 סמ"ר

📐 שטח משולש

צלע · הגובה לצלע2

סעיף ג (1) – יחס הדמיון

k = BCEF

📐 משולשים דומים

נציב BC = 72 , EF = 48:

k = 7248 = 32 = 1.5

✅ פתרון סופי: 32

📐 משולשים דומים

יחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימות
ABDE = BCEF

סעיף ג (2) – שטח המשולש DEF

גם הגבהים במשולשים דומים מתייחסים לפי יחס הדמיון. הגובה של DEF לצלע EF:

AKh = 32

📐 משולשים דומים

נציב AK = 62.354:

62.354h = 1.5

h = 62.3541.5 ≈ 41.569

S = EF · h2

📐 שטח משולש

📐 משולשים דומים

גם היחס בין גבהים מתאימים = יחס הדמיון

📐 שטח משולש

צלע · הגובה לצלע2

סעיף ג (2) – שטח המשולש DEF · המשך

S = EF · h2

📐 שטח משולש

נציב EF = 48 , h = 41.569:

S = 48 · 41.5692

S = 24 · 41.569 ≈ 997.66

✅ פתרון סופי: ≈ 997.7 סמ"ר

📐 שטח משולש

צלע · הגובה לצלע2

סעיף ד – השטח האפור

השטח האפור = שטח המשולש הגדול − שטח המשולש הקטן

נציב שטח המשולש הגדול = 2244.74 , שטח המשולש הקטן = 997.66:

2244.74 − 997.66 = 1247.08 ≈ 1247.1

✅ פתרון סופי: ≈ 1247.1 סמ"ר

📌 סיכום התשובות

סעיף א

דמיון לפי ז.ז

ב (1)

AK ≈ 62.35 ס"מ

ב (2)

≈ 2244.7 סמ"ר

ג (1)

ג (2)

≈ 997.7 סמ"ר

סעיף ד

≈ 1247.1 סמ"ר

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא